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順序統計量(じゅんじょとうけいりょう、Order Statistic)とは、統計において k 番目に小さい値である標本を求めることをいう。ランク統計量と共に順序統計量は、非パラメトリック統計学における最も基本的ツールとなっている。

順序統計量における重要な特殊ケースとしては、標本の最小値、最大値、中央値、分位などがある。

連続確率分布での無作為標本の順序統計量を確率論的に分析する場合、一様分布の順序統計量ならば累積分布関数によって分析を簡略化できる。

◆ 表記法と例

例えば、4つの数が観測され記録されたとすると、標本の大きさは $n=4$ となる。各観測値は以下のようであったとする。

:6, 9, 3, 8,

これを通常、次のように表記する。

:$x\_1=6;\backslash \; \backslash \; x\_2=9;\backslash \; \backslash \; x\_3=3;\backslash \; \backslash \; x\_4=8\backslash ,$

$x\_i$ の添え字 i は記録上の順序を単に表し、通常は重要ではない。時系列では順序が重要となる。

順序統計量では次のように表記する。

:$x\_\{(1)\}=3;\backslash \; \backslash \; x\_\{(2)\}=6;\backslash \; \backslash \; x\_\{(3)\}=8;\backslash \; \backslash \; x\_\{(4)\}=9\backslash ,$

ここで括弧で囲まれた添え字 (i) が順序統計量での i 番目の値を表す。

第一順序統計量(または最小順序統計量)は最小値を表し、次のように表記される。

:$X\_\{(1)\}=\backslash min\backslash \{\backslash ,X\_1,\backslash ldots,X\_n\backslash ,\backslash \}$

ここで、確率変数を示す一般的な記法として大文字を使用している。小文字は具体的な観測値を指すのに使われる。

同様に大きさ n の標本で第 n 順序統計量(または最大順序統計量)は最大値を表し、次のように表記される。

:$X\_\{(n)\}=\backslash max\backslash \{\backslash ,X\_1,\backslash ldots,X\_n\backslash ,\backslash \}.$

観測値の範囲は最大値と最小値の差である。これは明らかに順序統計量の関数となっている。

:$\{\backslash rm\; Range\}\backslash \{\backslash ,X\_1,\backslash ldots,X\_n\backslash ,\backslash \}\; =\; X\_\{(n)\}-X\_\{(1)\}.$

探索的データ解析での類似の重要な統計量である四分位数は順序統計量に関係している。

標本の中央値(第2四分位点)は順序統計量となる場合もあるし、そうでない場合もある。というのは、標本の大きさ $n$ が奇数であった場合だけ唯一の中央値が存在するからである。正確に言えば、$n=2m+1$ となる整数 $m$ があるとき、中央値 $X\_\{(m+1)\}$ は順序統計量である。一方、$n$ が偶数の場合は $n=2m$ となるので、中央値の候補は $X\_\{(m)\}$ と $X\_\{(m+1)\}$ の2つとなり、中央値はこれらの関数(一般に平均)で表されるため、順序統計量とは言えない。同様の注意はあらゆる標本分位点を求める際にも必要となる。

◆ 確率的解析

ここでは、標本は無作為で連続確率分布に従うものとし、単純化のために密度があるものとする(つまり絶対連続である)。

◇ 絶対連続分布での各種順序統計量の分布

いま $X\_\{1\},\; X\_\{2\},\; \backslash ldots,\; X\_\{n\}$ は i.i.d.(同一分布に従う互いに独立) で絶対連続分布を持つ確率変数であり、$X\_\{(1)\},\; X\_\{(2)\},\; \backslash ldots,\; X\_\{(n)\}$ をその順序統計量とする。また $f(x)\; \backslash ,$ はその確率密度関数、$F(x)\; \backslash ,$ は累積分布関数とする。この時、k番目の順序統計量の確率分布は次のようになる。

::$f\_\{X\_\{(k)\}\}(x)=\{d\; \backslash over\; dx\}\; F\_\{X\_\{(k)\}\}(x)$

={d \over dx}P\left(X_{(k)}\leq x\right)

P( ) 内の事象は『n 個中少なくとも k 個の X_i が $\backslash leq\; x$』 = 『n 回の試行中 k 回以上の成功』であるから

:$=\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash sum\_\{j=k\}^n\{n\; \backslash choose\; j\}P(X\backslash leq\; x)^j(1-P(X\backslash leq\; x))^\{n-j\}$

:$=\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash sum\_\{j=k\}^n\{n\; \backslash choose\; j\}\; F(x)^j\; (1-F(x))^\{n-j\}$

:$=\backslash sum\_\{j=k\}^n\{n\; \backslash choose\; j\}$

\left(jF(x)^{j-1}f(x)(1-F(x))^{n-j}

+F(x)^j (n-j)(1-F(x))^{n-j-1}(-f(x))\right)

:$=\backslash sum\_\{j=k\}^n\backslash left(n\{n-1\; \backslash choose\; j-1\}F(x)^\{j-1\}(1-F(x))^\{n-j\}\; -\; n\{n-1\; \backslash choose\; j\}\; F(x)^j(1-F(x))^\{n-j-1\}\; \backslash right)f(x)$

:$=nf(x)\backslash left(\backslash sum\_\{j=k-1\}^\{n-1\}\; \{n-1\; \backslash choose\; j\}$

F(x)^j (1-F(x))^{(n-1)-j}

- \sum_{j=k}^n {n-1 \choose j}

F(x)^j (1-F(x))^{(n-1)-j}\right)

上の望遠鏡列(telescoping)の総和は、最初と最後の項以外は全て相殺されるため

:$=nf(x)\backslash left(\{n-1\; \backslash choose\; k-1\}\; F(x)^\{k-1\}\; (1-F(x))^\{(n-1)-(k-1)\}$

- \underbrace\right)

下括弧部はゼロとなるから

:$=nf(x)F(x)^(1-F(x))^$

:$=F(x)^(1-F(x))^f(x).$

◇ 順序統計量の確率分布

この節では、単位区間上の一様分布からの順序統計量が、ベータ分布族に属する周辺分布を持つことを示す。また、任意個の順序統計量の同時分布を求め、累積分布関数を用いて任意の連続型分布のケースに一般化する簡単な方法を示す。

いま $X\_,\; X\_,\; \backslash ldots,\; X\_$ が、累積分布関数 $F\_X\; \backslash ,$ を持つ連続型分布から得られた無作為標本と、この節においては仮定する。ここで $U\_i=F\_X(X\_i)\; \backslash ,$ と置くことによって、標準一様分布にしたがう無作為標本 $U\_1,\backslash ldots,U\_n$ が得られる。また順序統計量においても、$U\_=F\_X(X\_)\; \backslash ,$ が成り立つことに注意。

  一様分布の順序統計量

順序統計量 $U\_\backslash ,$ が $[外部リンク]u,u+du\backslash ,$ の範囲に落ちる確率は

:$u^(1-u)^du+O(du^2),$

に等しい。よって標準一様分布からのk番目の順序統計量は、ベータ分布に従う確率変数

:$U\_\backslash sim\; B(k,n+1-k)\; \backslash ,$

となる。証明は以下の通り。$U\_\backslash ,$ が u と u + du の間にあるためには、標本中の k − 1 個の要素が u より小さく、かつ少なくとも 1 個の要素が u と u + du の間にあることが必要。複数の要素が後者の範囲にある確率は $O(du^2)\; \backslash ,$ となるため、求める確率は、k − 1 個の観測値が $(0,u)\; \backslash ,$ に、1 個が $(u,u+du)\; \backslash ,$ に、n − k 個が $(u+du,1)\; \backslash ,$ に落ちる場合に相当する。つまり、その確率は

:$u^k\backslash cdot\; du\backslash cdot(1-u-du)^$

に等しい(詳しくは多項分布参照)。

  同時分布

同様に、i < j であるとき、2つの順序統計量 U_i < U_j の同時確率密度関数は次のようになることが示せる。

:

これは($O(du\backslash ,dv)$ までの項において)、区間 $(0,u)\; \backslash ,$, $(u,\; u+du)\; \backslash ,$, $(u+du,\; v)\; \backslash ,$, $(v,\; v+dv)\; \backslash ,$, $(v+dv,\; 1)\; \backslash ,$ に落ちる標本要素の数が、各々 i − 1, 1, j − 1 − i, 1, n − j 個となる確率に等しい。

同様にして、より高次の同時分布も導くことができる。おそらく意外なことに、n 次の同時分布は次のような定数になる:

:

この一つの解釈として、「順序のない標本は確率密度 1 を持ち、同じ順序統計量の列に対応する n! 個の異なる順列を持つ標本が存在する」ことが考えられる。これは、領域

◆ 応用: 分位の信頼区間

順序統計量に基づいて、その分布における分位を推定するという問題は興味深い。

◇ 中央値の推定

以下では、標本中央値によって母集団中央値がどの程度良く推定できるかを、最も単純なケースで考える。

  小標本の例

例として、サイズ 6 の無作為標本を考える。この場合の標本中央値は、通常、3 番目と 4 番目の順序統計量で区切られた区間の中点として定義される。しかしこれまでの議論から、この区間が実際に母集団中央値を含む確率は次のようになる:

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